评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答的总体思路是正确的：

1. 正确识别了积分区域D由两个圆盘的交集构成，并转化为极坐标下的不等式：\(r \leq 4\sin\theta\) 和 \(r \leq 4\cos\theta\)。这与标准答案中隐含的极坐标边界（\(r \leq 4\cos\theta\) 对应圆 \((x-2)^2+y^2=4\)，\(r \leq 4\sin\theta\) 对应圆 \(x^2+(y-2)^2=4\)）是一致的。
2. 正确利用了区域的对称性（关于直线 \(y=x\)），将积分区域分为 \(\theta \in [0, \pi/4]\) 和 \([\pi/4, \pi/2]\) 两部分，并分别以 \(r \leq 4\sin\theta\) 和 \(r \leq 4\cos\theta\) 为上限进行积分。这与标准答案中先利用对称性化为2倍\(D_1\)上的积分，再在\(D_1\)上取 \(r \leq 4\cos\theta\) 的思路本质相同，只是分区表述不同。
3. 被积函数 \((x-y)^2\) 在极坐标下正确转化为 \((\cos\theta - \sin\theta)^2 r^2\)，积分微元 \(dxdy = r dr d\theta\)，因此被积表达式整体为 \((\cos\theta - \sin\theta)^2 r^3 dr d\theta\)。学生作答中写的是 \((\cos\theta - \sin\theta)^2 r^2 dr\)，这里缺少了一个 \(r\)（来自面积元），属于关键性的逻辑/公式错误。
4. 由于上述错误，后续的积分计算（从对 \(r\) 积分开始）全部基于错误的被积函数 \(r^2\) 而非 \(r^3\) 进行，导致计算结果与标准答案 \(12\pi - 16/3\) 完全不同。学生的最终结果是一个包含 \(\sqrt{2}\) 的有理表达式，而正确答案应包含 \(\pi\)，这表明计算过程存在根本性偏差。

扣分分析：

• 核心错误：在极坐标下进行二重积分时，漏掉了面积元中的 \(r\)，导致被积函数错误。这是一个严重的逻辑/公式应用错误，直接影响整个计算的正确性。
• 该错误不属于字符误写（如1和7混淆），而是对积分变换公式掌握不牢导致的。
• 尽管思路（区域划分、对称性利用、换元方...