评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题满分12分。学生作答的核心思路与标准答案一致：利用极限条件，通过等价无穷小代换和泰勒展开，推导出 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-2}{x} = 5\)，并由此得出 \(f(0)=2\) 和 \(f'(0)=5\)。

具体步骤分析：

1. 学生正确将分母 \(\ln(1+x)+\ln(1-x)\) 化为 \(\ln(1-x^2)\)，并知道其等价于 \(-x^2\)（虽然没有显式写出等价无穷小，但从后续代入 \(-x^2\) 可知理解正确）。
2. 对分子 \(e^{2\sin x}\) 进行了展开（写为 \(2\sin x + 2\sin^2 x + o(x^2)\)），与标准答案一致。
3. 将极限式整理为 \(\lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - 2\sin x - 2\sin^2 x + o(x^2)}{-x^2} = -3\)。
4. 关键推导步骤：学生写出该极限等于 \(2 - \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-2}{x}\)。这一步是合理的，因为： \[ \frac{xf(x) - 2\sin x - 2\sin^2 x}{-x^2} = \frac{x(f(x)-2) + 2x - 2\sin x - 2\sin^2 x}{-x^2} \] 利用 \(\sin x = x + o(x)\)，\(\sin^2 x = x^2 + o(x^2)\)，可得 \(2x - 2\sin x \sim -\frac{x^3}{3}\)，与 \(-x^2\) 相比为高阶无穷小；而 \(-2\sin^2 x / (-x^2) \to 2\)。因此极限值主要来源于 \(2\) 和 \(\frac{f(x)-2}{x}\) 的贡献。学生的化简结果 \(2 - \lim \frac{f(x)-2}{x}\) 是正确的。
5. 由 \(-3 = 2 - \lim \frac{f(x)-2}{x}\) 解得 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-2}{x} = 5\)。
6. 由该极限存在且 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 连续（题目已知），可得 \(f(0) = \lim_{x \to 0} f(x) = 2\...