评分及理由

（1）求函数 \( f(x,y) \) 部分（满分6分）

得分：5分

理由：学生正确写出偏导数 \( f_x' = -2xe^{-y} \), \( f_y' = e^{-y}(x^2 - y - 1) \)，并通过积分得到 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} - ye^{-y} + 2e^{-y} \)，这与标准答案 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + (y+2)e^{-y} \) 等价（展开后一致）。利用 \( f(0,0)=2 \) 确定了常数，过程正确。但学生在积分 \( f_y' \) 时写成了 \( \int f_y' dy = -x^2 e^{-y} - ye^{-y} + 2e^{-y} + C_1 \)，这里常数标记为 \( C_1 \) 与 \( \int f_x' dx \) 中的常数标记相同，容易引起混淆（实际上应分别记为关于 \( y \) 和关于 \( x \) 的函数），不过最终结果正确，因此扣1分。

（2）求极值部分（满分6分）

得分：5分

理由：学生正确求出驻点 \( (0, -1) \)，并计算了二阶偏导数。但在计算 \( f_{xx}'' \) 时写成了 \( -2e^y \)（应为 \( -2e^{-y} \)），代入 \( y=-1 \) 后得到 \( -2e \)，结果正确，但表达式有笔误；计算 \( f_{yy}'' \) 时写成了 \( -e^{-y}(x^2 - y) \)（应为 \( e^{-y}(x^2 - y) \) 或 \( e^{-y}(x^2 - y - 1) - e^{-y} \)），代入后得到 \( -e \)，结果正确但符号与标准答案相反（标准答案为 \( C = -e \)），由于最终 \( AC - B^2 > 0 \) 且 \( A < 0 \) 判断正确，极大值 \( f(0,-1) = e \) 也正确，因此扣1分（二阶偏导数表达式有误，但代入后数值正确，属于计算过程中的笔误）。

题目总分：5+5=10分