评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题满分12分。学生的解答思路基本正确：识别出积分区域是两个圆的交集，并利用对称性将区域分为两部分，然后采用极坐标进行计算。这是解决此类问题的标准方法之一。

然而，在具体计算过程中存在多处关键性错误：

1. 区域设定错误：学生将区域 \(D_1\) 的极径上限定为 \(r \leq 4\sin\theta\)，这是不正确的。由 \(x^2 + (y-2)^2 \leq 4\) 化为极坐标应为 \(r^2 - 4r\sin\theta + 4 \leq 4\)，即 \(r \leq 4\sin\theta\)。但这是圆心在(0,2)的圆。然而，在区域 \(D_1\) (定义为 \(y \leq x\) 部分) 中，其边界是圆 \(x^2 + (y-2)^2 = 4\) 的一部分，但极坐标变换后，\(r\) 的上限确实是 \(4\sin\theta\)。不过，标准答案中 \(D_1\) 对应的极径上限是 \(4\cos\theta\)，这是因为标准答案定义的 \(D_1\) 是圆 \(x^2 + (y-2)^2 \leq 4\) 中 \(y \leq x\) 的部分。而学生定义的 \(D_1\) 是 \(0 \leq \theta \leq \pi/4, 0 \leq r \leq 4\sin\theta\)，这实际上对应的是圆 \(x^2 + (y-2)^2 \leq 4\) 在第一象限中 \(\theta\) 从0到 \(\pi/4\) 的部分，这个区域与标准答案的 \(D_1\) 并不完全一致（标准答案的 \(D_1\) 边界由 \(r=4\sin\theta\) 和直线 \(y=x\) 围成，但 \(\theta\) 范围是使得 \(r=4\sin\theta\) 有定义且满足 \(y \leq x\) 的部分，即 \(\theta \in [\pi/4, \pi/2]\)？这里需要仔细分析）。实际上，圆 \(x^2+(y-2)^2=4\) 的极坐标方程为 \(r=4\sin\theta\)，当 \(\theta \in [0, \pi]\) 时。在 \(D_1\) (即 \(y \leq x\)) 条件下，对于该圆，应有 \(\theta \in [\pi/4, \pi/2]\)（因为当 \(\theta=\p...