评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确计算出 a=4，并得到 A 的特征值为 0,3,6。由合同知正惯性指数相同，B 的正惯性指数为 2（因为特征值 k 和 6 非零，且一个为 0），所以 k>0。但学生没有明确指出 k 的取值范围是 k>0 且 k≠6（因为若 k=6，则 B 的特征值为 6,6,0，与 A 的特征值 3,6,0 不同，虽然合同但此时不相似，而第(1)问只要求合同，所以 k>0 即可，但标准答案只写了 k>0，所以不扣分）。然而，学生在计算行列式 |A| 时，第一步变换有笔误（第二行未保持原样，但最终结果正确），且特征多项式符号有误（第一次识别中 |λE-A| 写成了带正负号混乱的矩阵，但最终特征多项式正确），由于最终结果正确，且可能是识别误差，不扣分。但学生没有明确写出“由 |A|=0 得 a=4”的逻辑链条，而是直接计算行列式等于0，思路正确。综合给分 6 分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生由 Q^T A Q = B 且 Q 正交推出 A 与 B 相似，从而 k 必须为 3，正确。求特征向量时，第一次识别中 λ=6 的特征向量为 (-1,0,1)^T，第二次识别中写成了 (1,0,1)^T，这是严重错误，因为 (1,0,1)^T 不是 λ=6 的特征向量（代入验证可知不对）。但第一次识别结果是正确的，根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，这里以第一次识别为准，不扣分。单位化时，学生将三个特征向量单位化后组成 Q，但顺序与标准答案不同：标准答案中 Q 的列是按特征值 3,6,0 对应的单位特征向量排列，而学生是按 0,3,6 排列，这会导致 Q^T A Q = diag(0,3,6) 而不是 diag(k,6,0)，但题目中 B 是 diag(k,6,0)，所以必须对应好顺序。学生没有调整顺序，直接按 0,3,6 排列，得到的 Q 会使 Q^T A Q = diag(0,3,6)，与 B 不一致（除非 k=3 且交换顺序），因此 Q 的构造有误。扣 2 分。此外，第二次识别中 γ3 对应的 ξ3 写错，但以第一次识别为准，不扣分。其余步骤正确。得 4 分。

题目总分：6+4=10分