评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生将原方程化为标准形式 \(y' - \frac{2x^2-1}{x}y = x^2\)，正确使用了一阶线性微分方程的通解公式，并计算了积分因子和积分过程。在求解过程中，对 \(\int \frac{x^3}{e^{x^2}} dx\) 使用了正确的变量代换和分部积分，得到 \(-\frac{1}{2}(x^2+1)e^{-x^2}\)。代入初值条件 \(y(1)=a\) 时，计算得到 \(C = \frac{a-1}{e}\)，从而得到通解 \(y(x) = e^{x^2 - \ln x}\left(-\frac{1}{2}(x^2+1)e^{-x^2} + \frac{a-1}{e}\right)\)。此结果与标准答案 \(y(x) = -\frac{x}{2} - \frac{1}{2x} + (1+a)e^{-1} \cdot \frac{e^{x^2}}{x}\) 在代数形式上等价（可通过化简验证），且求解过程逻辑正确、步骤完整。因此，本部分得满分6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生首先计算 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{y(x)}{x}\)，将表达式展开并分析极限存在的条件。在极限计算中，学生正确地指出若极限存在，则必须消去发散项 \(\frac{a-1}{e} \cdot \frac{e^{x^2}}{x^2}\)，由此得出 \(a=1\)（但标准答案为 \(a=-1\)，此处存在关键错误）。随后，学生假设 \(a=1\) 计算了 \(\lim_{x \to +\infty} \left(y(x) + \frac{1}{2}x\right)\)，并得到极限为0，从而得出渐近线 \(y = -\frac{1}{2}x\)。虽然最终渐近线方程正确，但确定参数 \(a\) 的值是错误的（应为 \(a=-1\) 而非 \(a=1\)），这导致整个第二问的推理基础错误。由于参数 \(a\) 的确定是本题的核心步骤，且错误影响了结论的完整性，因此扣除大部分分数。考虑到学生正确写出了渐近线方程并完成了极限计算的形式，给予部分分数。本部分扣4分，得2分。

题目总分：6+2=8分