评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案为 \(\frac{c}{x}e^{\frac{x^{2}}{2}}\)，其中包含一个未定常数 \(c\)。原题给出的方程 \( t f(t) = 1 + \int_{0}^{t} s^{2} f(s) ds \) 是一个确定函数 \(f\) 的积分方程，通常通过求导转化为微分方程来求解。将方程两边对 \(t\) 求导，可得 \(f(t) + t f'(t) = t^{2} f(t)\)，整理得 \(f'(t) = \frac{t^{2}-1}{t} f(t)\)。这是一个可分离变量的微分方程，解得 \(f(t) = \frac{C}{t} e^{\frac{t^{2}}{2}}\)，其中 \(C\) 为任意常数。然而，需要利用原方程确定常数 \(C\)：将 \(t=0\) 代入原方程，左边为 \(0 \cdot f(0) = 0\)，右边为 \(1 + 0 = 1\)，出现矛盾 \(0=1\)，这表明原方程在 \(t=0\) 处可能隐含了某种极限条件或定义域限制（例如 \(t \neq 0\)）。实际上，若将 \(t \to 0^{+}\) 代入原方程，左边趋于 \(0\)，右边趋于 \(1\)，矛盾依然存在，因此原方程可能要求 \(t>0\) 或 \(t<0\)，且解中的常数 \(C\) 必须特定。通常做法是：将通解 \(f(t) = \frac{C}{t} e^{\frac{t^{2}}{2}}\) 代回原方程，可以确定常数 \(C\)。代入后计算可得 \(C=1\)（具体过程略）。因此，确定的解为 \(f(x) = \frac{1}{x} e^{\frac{x^{2}}{2}}\)（假设 \(x>0\) 或 \(x<0\)）。学生答案中保留了常数 \(c\)，没有确定其值为1，因此答案不完整，与标准答案 \(\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}}}{x}\)（即 \(c=1\)）不符。根据填空题的评分规则，答案必须完全正确才能得分，此处学生答案形式正确但含未定常数，视为错误。故本题得0分。

题目总分：0分