评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \( a = -1 \)。

我们需要计算积分 \( \int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x(2x + a)}dx \)，并令其等于 \( \ln 2 \)，从而求解 \( a \)。

首先，对积分进行计算。被积函数可以分解为部分分式： \[ \frac{a}{x(2x + a)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{2x + a} \] 通过比较系数可得 \( A = 1, B = -1 \)，因此： \[ \frac{a}{x(2x + a)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + \frac{a}{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x + \frac{a}{2}} \] （注意：\( \frac{1}{2x+a} \) 的系数为 -1，所以是 \( -\frac{1}{x + a/2} \)）。

于是积分： \[ \int_{1}^{+\infty}\frac{a}{x(2x + a)}dx = \int_{1}^{+\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x + \frac{a}{2}} \right) dx = \left[ \ln x - \ln\left(x + \frac{a}{2}\right) \right]_{1}^{+\infty} = \left[ \ln\frac{x}{x + \frac{a}{2}} \right]_{1}^{+\infty} \] 当 \( x \to +\infty \) 时，\( \frac{x}{x + a/2} \to 1 \)，所以 \( \ln 1 = 0 \)。因此积分值为： \[ 0 - \ln\frac{1}{1 + \frac{a}{2}} = -\ln\left(\frac{1}{1 + \frac{a}{2}}\right) = \ln\left(1 + \frac{a}{2}\right) \] 令其等于 \( \ln 2 \)，则： \[ \ln\left(1 + \frac{a}{2}\right) = \ln 2 \quad \Rightarrow \quad 1 + \frac{a}{2} = 2 \q...