评分及理由

（1）求函数 \( f(x,y) \) 的表达式（满分6分）

学生第一次识别结果中，积分过程有错误：对 \( f_y' \) 积分时写为 \( \int f_y' dy = -e^{-y}(x^2 y - y) + c \)，这明显不正确，且后续合并时表达式 \( t(x,y) = -e^{-y}(x^2 - y - 2) + c \) 虽然结果正确，但推导过程不严谨，存在逻辑跳跃。第二次识别结果中，对 \( f_y' \) 积分写为 \( \int f_y' dy = -e^{-y}(x^2 - y - 1) + C_2 \)，这也是错误的（正确积分应得到含 \( y \) 的函数）。不过，学生最终给出的函数表达式 \( f(x,y) = -e^{-y}(x^2 - y - 2) \) 与标准答案 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + (y+2)e^{-y} \) 等价（展开后相同），且利用 \( f(0,0)=2 \) 确定了常数，结果正确。由于核心结果正确，但积分过程存在明显错误，应扣过程分。扣2分，得4分。

（2）求驻点（满分3分）

学生正确写出偏导数并令其为零，解得驻点 \( (0, -1) \)，与标准答案一致。此部分无错误，得3分。

（3）判断极值并求极值（满分3分）

学生计算二阶偏导数时，在第二次识别结果中给出 \( f_{xx}'' = 2e^{-y} \)，这是错误的（应为 \( -2e^{-y} \)），导致后续 \( A = 2e \) 错误。虽然学生自己指出了“原答案计算 \( AC - B^2 \) 有误”，并给出了 \( AC - B^2 = -2e^2 < 0 \) 的计算，但这是基于错误的 \( A \) 值得出的，实际上若 \( A \) 正确（\( A = -2e \)），则 \( AC - B^2 = (-2e)(-e) - 0 = 2e^2 > 0 \)，且 \( A < 0 \)，可判断有极大值。学生因二阶偏导数计算错误导致极值判别结论错误（虽然函数值 \( f(0,-1)=e \) 计算正确）。此部分主要步骤（求二阶导、代入驻点、计算判别式）存在根本性计算错误，扣3分，得0分。

题目总分：4+3+0=7分