评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题满分12分。学生作答展示了两种方法（极坐标和直角坐标）来分析积分区域和建立积分表达式，思路基本正确，但存在关键的逻辑错误和计算未完成。

具体评分如下：

• 区域分析（2分）：学生正确将两个不等式转化为圆的标准方程，并指出区域由两个圆相交而成，得2分。
• 对称性利用（0分）：标准答案中利用对称性简化计算是本题的关键步骤，学生作答中完全没有提及，因此这部分不得分。
• 极坐标方法建立（2分）：学生正确进行了极坐标变换，并将被积函数 \((x-y)^2\) 写为 \(r^2 - 2r^2\cos\theta\sin\theta\)。在确定积分区域 \(D_1\) 时，学生给出的 \(\theta\) 范围 \([0, \pi/4]\) 和 \(r\) 范围 \([0, 4\cos\theta]\) 是错误的。这个 \(r\) 范围仅对应第一个圆 \(r=4\cos\theta\) 的边界，但区域 \(D\) 是两个圆的交集，在 \(\theta \in [0, \pi/4]\) 内，\(r\) 的上限应由两个圆中较小的 \(r\) 值决定，即 \(r \leq \min(4\cos\theta, 4\sin\theta)\)。学生忽略了 \(r=4\sin\theta\) 的约束，这是一个严重的逻辑错误，扣2分。但由于其后续计算是基于这个错误的积分限进行的，且计算未完成，因此只扣除建立部分的分数。
• 极坐标计算过程（0分）：学生的计算从 \(\int r^3 - 2r^3\cos\theta\sin\theta dr\) 开始，积分结果写为 \(\frac{1}{4}r^4 - \frac{1}{2}r^4\cos\theta\sin\theta\)，这是正确的。但在代入上限 \(4\cos\theta\) 后，化简过程出现错误（如将 \((4\cos\theta)^4\) 的系数处理错误，并引入了未定义的表达式“\((1-\sin2\theta)(4\cos\theta)^4\)”），且最终没有算出数值结果。由于积分限本身就是错误的，且计算过程混乱、未完成，因此这部分不得分。
• 直角坐标方法（1分）：学生列出了直角坐标下的积分表达式，积分限设置基本正确（反映了区域边界），得1分。但同样没有进行计算。
• 最终答案（0分）：学生...