2025年考研数学（二）考试试题 - 第21题回答

评分及理由

本题满分12分，要求学生证明一个关于导函数严格单调递增的充要条件。学生的作答仅陈述了必要性方向的一部分，且论证不完整、不严谨，没有涉及充分性证明。

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答内容为：若 \( f'(x) \) 在 \((a,b)\) 上单增，则 \( f''(x) > 0 \)，\( f(x) \) 为凹区间，从而推出题目中的不等式。这只是在尝试证明“必要性”（即由\(f'(x)\)严格单增推出不等式），并且其论证逻辑存在严重问题：

1. 题目条件只假设\(f(x)\)在\((a,b)\)内可导，并未假设二阶导数存在。学生直接使用\(f''(x)>0\)是无效的，属于引入未给定的条件，逻辑错误。
2. 即使假设了二阶导数存在且大于零，这只能说明函数是严格凸的（或凹的，取决于定义），而由严格凸性推导出题目中的不等式是一个已知结论，但学生并未给出任何推导过程，只是直接陈述了结论。
3. 标准答案中必要性的证明是使用拉格朗日中值定理，这是本题考察的核心知识点之一。学生的证明方法偏离了标准且正确的路径，并且由于依赖了未给出的条件（二阶可导），其证明在本题目框架下是不成立的。
4. 学生完全没有证明“充分性”（即由不等式推出\(f'(x)\)严格单增），而这是本题证明的另一半，且难度较大。

因此，学生的作答未能正确完成题目的要求。考虑到其陈述了部分与结论相关的正确事实（尽管推导无效），但缺失了绝大部分核心论证，尤其是充分性证明完全缺失，故给予少量分数。
得分：2分（给予同情分，因其指出了必要性方向的部分结论，但论证无效且不完整）。

题目总分：2分

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