评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确得出 a=4，并正确计算了 A 的特征值为 3,6,0，从而推断出 k>0。但在第(1)问中，题目要求“求 a 的值及 k 的取值范围”，学生只给出了 a=4，并提到“k>0”，但在第一次识别的最后写“则 k>0”，第二次识别中未明确写出 k 的取值范围。根据标准答案，k>0 是正确结论。考虑到学生计算过程正确，且隐含了 k>0 的结论（因为特征值均为非负，且正惯性指数为2），但未明确写出“k>0”作为最终答案，存在表述不完整。扣1分。

得分：5分

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确得出 k=3，并求出了三个特征向量，进行了单位化，得到了正交矩阵 Q。但在第二次识别中，特征向量 α₂ 的符号与标准答案相反（学生为 (1,0,1)，标准答案为 (-1,0,1)），这会导致 Q 的第二列符号相反。由于正交矩阵的列向量符号可以反向（仍为单位特征向量），且满足 QᵀAQ = B，因此不扣分。但学生两次识别中，第一次的 E₂ 分母写为 √5 是错误的（应为 √2），第二次识别中已更正为 √2，且最终 Q 矩阵正确（与标准答案仅第二列符号差异，但仍是特征向量）。因此不扣分。

得分：6分

题目总分：5+6=11分