评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确写出切线方程，并根据“曲线上任一点到 y 轴的距离等于该点处的切线在 y 轴上的截距”建立方程 \(x = y - xy'\)，整理得到一阶线性微分方程并求解，得到通解 \(y = x(C - \ln x)\)。利用初始条件 \(y(1)=2\) 确定常数 \(C=2\)，最终得到正确结果 \(y(x) = x(2 - \ln x)\)。解题过程完整，逻辑清晰，与标准答案一致。

得分：5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生首先根据（1）的结果写出 \(f(x) = \int_{1}^{x} y(t) dt\)，并正确应用微积分基本定理得到 \(f'(x) = y(x) = x(2 - \ln x)\)。令 \(f'(x)=0\) 解得驻点 \(x = e^2\)。分析 \(f'(x)\) 的符号：当 \(0 < x < e^2\) 时 \(f'(x) > 0\)，当 \(x > e^2\) 时 \(f'(x) < 0\)，因此 \(x = e^2\) 是极大值点，也是最大值点。最后计算最大值 \(f(e^2) = \int_{1}^{e^2} t(2 - \ln t) dt\)，并给出结果 \(\frac{e^4 - 5}{4}\)。整个过程与标准答案完全一致，计算正确。

需要特别说明：学生的第二次识别结果中包含了一段自我纠错的分析，指出“原答案中求导和驻点计算存在一些问题”，并给出了另一套（错误的）推理，认为 \(f(x)\) 应该是 \(x(2-\ln x)\) 本身，驻点应为 \(x=e\)，最大值应为 \(e\)。但根据题目定义，\(f(x)\) 是积分函数，并非 \(y(x)\) 本身。在第一次识别结果及最终呈现的答案主体中，学生实际采用的是正确的思路和计算（即对积分函数求导）。根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，且最终答案正确，因此不扣分。

得分：5分。

题目总分：5+5=10分