评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生正确计算了协方差：给出了公式 \(Cov(X,Y)=EXY-EXEY\)，并分别计算了 \(EXY\) 和 \(EX\)（以及隐含的 \(EY\)，由对称性也为0），得出协方差为0。计算过程正确，积分区域和函数代入无误，结果正确。因此得满分4分。

（2）得分及理由（满分4分）

学生正确判断了独立性：分别计算了边缘密度 \(f_X(x)\) 和 \(f_Y(y)\)。虽然第一次识别结果中边缘密度的积分表达式书写有笔误（写成了二重积分符号 \(\iint_D\)，但根据上下文和第二次识别结果，可以判断是误写，实际计算思路正确），并且给出了正确的边缘密度表达式（与标准答案等价，\(\frac{4}{\pi}\sqrt{1-y^2}(\frac{2}{3}y^2+\frac{1}{3})\) 经化简即为标准答案形式）。最后正确指出 \(f(x,y) \neq f_X(x)f_Y(y)\)，从而得出不独立的结论。因此得满分4分。

（3）得分及理由（满分4分）

学生正确求解了 \(Z = X^2+Y^2\) 的概率密度：定义了分布函数 \(F_Z(z)\)，并正确分区讨论（\(z \le 0\), \(0 < z < 1\), \(z \ge 1\)）。在计算 \(0 < z < 1\) 时的概率时，第一次识别结果中积分区域误写为 \(x^2+y^2 \le z^2\)（应为 \(x^2+y^2 \le z\)），但第二次识别结果已更正为正确区域 \(x^2+y^2 \le z\)，且积分计算过程正确（化为极坐标，积分限正确，被积函数正确），得到 \(F_Z(z)=z^2\)，进而求导得到密度函数 \(f_Z(z)=2z, 0

题目总分：4+4+4=12分