评分及理由

（1）求函数 \( f(x,y) \) 部分（满分6分）

学生从已知的全微分形式正确写出偏导数 \( f_x = -2xe^{-y} \)，并积分得到 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + c(y) \)，再通过 \( f_y = e^{-y}(x^2 - y - 1) \) 得到 \( c'(y) = e^{-y}(-y-1) \)，积分得 \( c(y) = (y+2)e^{-y} + C \)，利用 \( f(0,0)=2 \) 确定 \( C=0 \)。
扣分情况：在第一次识别结果中，最终写出的函数为 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + e^{-y}(x+2) \)，此处应为 \( e^{-y}(y+2) \)，多了一个 \( x \) 而少了 \( y \)，属于明显的表达式错误（不是简单的字符误写，而是结构错误），导致函数形式不正确。第二次识别结果中同样出现了 \( f(x,y) = -x^2 e^{-y} + e^{-y}(x+2) \) 的错误。
扣分：由于最终函数表达式错误，扣除该部分的大部分分数。但考虑到前面推导 \( c(y) \) 的过程基本正确，且利用初值确定常数也正确，给予部分步骤分。
得分：3分（满分6分）。

（2）求驻点部分（满分3分）

学生正确令偏导数为零：\( f_x = -2xe^{-y} = 0 \) 得 \( x=0 \)，代入 \( f_y = e^{-y}(x^2 - y - 1) = 0 \) 得 \( y = -1 \)，得到驻点 \( (0, -1) \)。
注意：虽然学生使用的函数表达式有误，但在求偏导数和驻点时，其偏导数是从题目给出的全微分直接得到的（或从自己推导的中间步骤得到），且计算过程正确，因此该部分不因最终函数表达式错误而扣分。
得分：3分（满分3分）。

（3）判断极值并求极值部分（满分3分）

学生正确计算了二阶偏导数 \( f_{xx} = -2e^{-y} \), \( f_{xy} = 2xe^{-y} \), \( f_{yy} = -e^{-y}(x^2 - y) \)（注：标准答案为 \( e^{-y}(x^2 - y) \)，学生多了一个负号，但代入点后计算出的 \( C \) 值与标准答案一致，说明可能是书写或识别差异，且不影响最...