评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确得出 \(a=4\)，并说明 \(k>0\)。但在计算行列式 \(|A|\) 时，第一次识别结果中行列式展开过程有笔误（第二行元素写错），第二次识别结果中矩阵元素位置有误（将原矩阵第二行第三列的1误写为a，第三行第三列的a误写为4），不过最终结果正确，且特征多项式计算正确，得到特征值0,3,6，从而推出正惯性指数为2，因此 \(k>0\)。由于核心逻辑和结果正确，仅过程有轻微笔误但不影响结论，根据“误写不扣分”原则，不扣分。得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确得出 \(k=3\)，并求出特征向量，进行单位化得到正交矩阵 \(Q\)。但学生给出的 \(Q\) 矩阵列向量顺序与标准答案不同：标准答案中列顺序对应特征值3,6,0，而学生答案中列顺序对应特征值0,3,6（第一次识别）或0,3,6（第二次识别）。由于正交矩阵 \(Q\) 的列顺序只要与对角矩阵 \(B\) 的对角元顺序一致即可，而学生将 \(B\) 写作 \(\text{diag}(0,3,6)\)，因此其 \(Q\) 的列顺序是合理的。但需注意，在第二次识别结果中，\(\eta_1\) 的第一个分量是 \(\frac{1}{\sqrt{6}}\)，但第二行写的是 \(-\frac{2}{\sqrt{6}}\)，而 \(\xi_1=(1,-2,1)^T\) 单位化后应为 \(\left(\frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}\right)^T\)，因此第二次识别结果中 \(\eta_1\) 的表示是正确的（尽管第一次识别中写成了 \(-\frac{1}{\sqrt{6}}\)，但第二次识别已纠正）。整体思路正确，结果与标准答案等价（仅列顺序不同），因此不扣分。得6分。

题目总分：6+6=12分