评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案：\(C_1 e^{x} + (C_2 \cos \frac{\sqrt{3}}{2}x + C_3 \sin \frac{\sqrt{3}}{2}x) e^{-\frac{1}{2}x}\)。

标准答案：\(y=c_{1} e^{x}+c_{2} x e^{x}+c_{3} x^{2} e^{x}\)。

理由：本题是求解三阶常系数线性齐次微分方程 \(y''' - y = 0\)。其特征方程为 \(r^3 - 1 = 0\)，解得三个根为 \(r_1 = 1\)，\(r_2 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(r_3 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\)。因此，通解应为 \(y = C_1 e^{x} + e^{-\frac{1}{2}x}(C_2 \cos \frac{\sqrt{3}}{2}x + C_3 \sin \frac{\sqrt{3}}{2}x)\)。学生的答案与此完全一致（学生书写中的“e的负二分之一次方”应理解为 \(e^{-\frac{1}{2}x}\)，在上下文中是合理的）。而标准答案给出的 \(y=c_{1} e^{x}+c_{2} x e^{x}+c_{3} x^{2} e^{x}\) 是错误的，因为它对应的特征根是三重根 \(r=1\)，这满足的特征方程是 \((r-1)^3=0\)，即 \(r^3 - 3r^2 + 3r -1=0\)，与原方程 \(y''' - y = 0\) 不符。因此，学生的答案是正确的，标准答案是错误的。根据打分要求第3条“思路正确不扣分：对于思路与标准答案不一致但是正确的不扣分”，学生应得满分。

得分：5分。

题目总分：5分