评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确将微分方程化为标准形式，正确求出积分因子，并利用积分因子法或通解公式得到通解 \(y = 1 + Cx^6\)。代入初始条件 \(y(\sqrt{3}) = 10\) 时，第一次识别中计算 \((\sqrt{3})^6 = 27\) 正确，解得 \(C = \frac{1}{3}\)，最终得到 \(y(x) = 1 + \frac{1}{3}x^6\)。第二次识别中初始条件写为 \(x = \sqrt[6]{3}\) 是识别错误（应为 \(\sqrt{3}\)），但代入计算时仍按 \((\sqrt[6]{3})^6 = 3\) 处理，得到 \(C = \frac{1}{3}\)，结果正确。整体思路、计算和答案均正确，故得满分6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确求出导数 \(y' = 2x^5\)，得到法线斜率，写出法线方程，并令 \(X=0\) 得到截距表达式 \(I_p = \frac{1}{2x_0^4} + \frac{1}{3}x_0^6 + 1\)。设函数 \(F(x_0)\) 并求导，令导数为零解得 \(x_0=1\)，通过导数符号判断为最小值点，代入得 \(P(1, \frac{4}{3})\)。思路、计算和答案均正确。虽然第一次识别中最终截距最小值写为 \(F(1) = \frac{11}{6}\)，但后面点坐标正确，且第二次识别中无此错误，属于识别误差，不扣分。故得满分6分。

题目总分：6+6=12分