评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

本题要求学生求解参数a、b的值，并构造可逆矩阵P使得P⁻¹AP为对角矩阵。学生的作答（综合两次识别结果）基本涵盖了所有关键步骤：

1. 正确计算特征多项式，得到特征值λ₁=b，λ₂=1，λ₃=3。
2. 正确分析两种情况：b=1和b=3。
3. 在每种情况下，都正确利用矩阵可相似对角化的条件（二重特征值对应的特征矩阵的秩为1）求出参数a的值（b=1时a=1；b=3时a=-1）。
4. 在每种情况下，都正确求出了属于各特征值的线性无关的特征向量。
5. 正确构造了可逆矩阵P，并指出了P⁻¹AP为对角矩阵。

然而，作答中存在一些瑕疵：

• 在第一次识别的结果中，给出的最终对角矩阵形式是错误的（如写成了具体的数字矩阵而非对角矩阵），这属于逻辑错误。但第二次识别结果中已正确表述为对角矩阵形式（如 diag(3,3,1) 和 diag(1,1,3)）。根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，此处不扣分。
• 部分特征向量的求解过程表述略显混乱，但最终结果正确。
• 第二次识别中，当λ=1时，对矩阵(E-A)的行变换结果写成了全零行，这与标准答案不一致，但后续求出的特征向量(-1,1,1)是正确的，且该向量确实是(E-A)x=0的解。此处可能是行变换过程书写有误，但核心结果正确，根据“主要判断核心逻辑是否正确”的原则，不扣分。

综上所述，学生的作答思路完全正确，核心计算和结论均无误。虽有少量表述或书写瑕疵，但未影响最终答案的正确性。因此，本题给予满分。

题目总分：12分