评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为 \(\pi/3\)，与标准答案 \(\frac{\pi}{3}\) 完全一致。

该题考查全微分的积分与路径无关的条件。已知 \(df(x, y) = \frac{x dy - y dx}{x^2 + y^2}\)，容易验证 \(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)\) 在单连通区域（如第一象限）成立，因此该微分形式是某个函数的全微分。积分时可以选择从 \((1,1)\) 到 \((\sqrt{3},3)\) 的路径，例如先沿径向到半径相同的点，再沿圆弧；或者直接观察到该微分形式与极角 \(\theta = \arctan(y/x)\) 的全微分 \(d\theta = \frac{x dy - y dx}{x^2+y^2}\) 相同（相差常数）。由 \(f(1,1)=\pi/4\) 知 \(f(x,y) = \arctan(y/x) + C\)，代入 \((1,1)\) 得 \(C=0\)，所以 \(f(x,y) = \arctan(y/x)\)。计算 \(f(\sqrt{3}, 3) = \arctan(3/\sqrt{3}) = \arctan(\sqrt{3}) = \pi/3\)。

学生答案正确，且无逻辑错误，因此得满分5分。

题目总分：5分