评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答的整体思路正确：正确使用了极坐标变换，并利用对称性化简积分，注意到被积函数中含有绝对值，根据 \( r \) 与 1 的大小关系对积分区域进行拆分。这些关键步骤与标准答案一致，因此思路部分不扣分。

然而，在具体计算过程中存在严重错误：

1. 在拆分积分区域时，学生将积分拆分为 \( 2\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}d\theta\int_{0}^{2\cos\theta}r(1 - r)dr + 2\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta\int_{0}^{2\cos\theta}r(r - 1)dr \)。这里拆分依据是 \( r=1 \) 对应的 \( \theta \) 分界点，但标准答案中正确的拆分是：当 \( 0 \le \theta \le \frac{\pi}{3} \) 时，\( r \) 从 0 到 1 取 \( 1-r \)，从 1 到 \( 2\cos\theta \) 取 \( r-1 \)；当 \( \frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{\pi}{2} \) 时，\( r \) 从 0 到 \( 2\cos\theta \) 始终有 \( r \le 1 \)，应取 \( 1-r \)。学生的拆分方式完全错误，导致后续积分计算全部错误。
2. 在计算定积分时，虽然写出了三角函数积分公式，但代入上下限和化简过程出现多处计算错误，最终得到错误结果 \( \frac{\pi}{3}+\frac{4}{3} \)，与标准答案 \( -\frac{\pi+32}{9}+3\sqrt{3} \) 不符。

由于存在严重的逻辑错误（积分区域拆分错误）和计算错误，导致最终答案错误，扣分应较重。但考虑到学生前期的极坐标变换和对称性使用正确，给予部分步骤分。

本题满分12分，扣除逻辑错误和计算错误后，给予 4分。

题目总分：4分