评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生正确写出矩阵 A 为 \(\begin{bmatrix} 1&1&1\\ 2&-1&1\\ 0&1&-1 \end{bmatrix}\)，与标准答案一致。得4分。

（2）得分及理由（满分8分）

学生计算特征多项式正确，得到特征值 \(\lambda_1=-2, \lambda_2=-1, \lambda_3=2\)，与标准答案一致。
对于特征向量：
- \(\lambda_1=-2\) 的特征向量为 \((0,-1,1)^T\)，正确。
- \(\lambda_2=-1\) 的特征向量，学生给出 \((-1,0,2)^T\)，但标准答案为 \((1,0,-2)^T\)。两者相差一个常数倍（-1倍），也是正确的特征向量，不扣分。
- \(\lambda_3=2\) 的特征向量为 \((4,3,1)^T\)，正确。
但在构造矩阵 P 时，学生两次识别结果中 P 的列向量顺序或具体数值有误：
第一次识别结果：\(P=\begin{bmatrix} 0&-1&4\\ -1&0&3\\ 0&2&1 \end{bmatrix}\)，其中第三列对应 \(\lambda_3=2\) 的特征向量为 \((4,3,1)^T\)，但此处第三行写为 1，与特征向量 (4,3,1) 的第三分量 1 一致，但第二列对应 \(\lambda_2=-1\) 的特征向量写为 \((-1,0,2)^T\)，此处第三行写为 2，与 2 一致，但第一列对应 \(\lambda_1=-2\) 的特征向量为 \((0,-1,1)^T\)，此处第三行写为 0，与 1 不一致，说明 P 的构造有误（第一列第三行应为 1 而不是 0）。
第二次识别结果：\(P=\begin{bmatrix} 0&-1&4\\ -1&0&3\\ 1&2&1 \end{bmatrix}\)，其中第一列第三行为 1，正确；第二列第三行为 2，与 \((-1,0,2)^T\) 的第三分量 2 一致；第三列第三行为 1，与 \((4,3,1)^T\) 的第三分量 1 一致。但第二列第二行为 0，与 \((-1,0,2)^T\) 的第二分量 0 一致；第一列第二行为 -1，正确。因此第二次识别的 P 矩阵数值正确，只是第二列特征向量与标准答案相差一个负号，但特征向量本身只要是非零向量...