评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案为“1”。

首先，求解微分方程 \(y^{\prime \prime}+2 y'+y=0\)，其特征方程为 \(r^2 + 2r + 1 = 0\)，解得重根 \(r = -1\)。因此，方程的通解为 \(y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{-x}\)。

代入初始条件 \(y(0)=0\)，得 \(C_1 = 0\)。于是 \(y(x) = C_2 x e^{-x}\)。

再代入初始条件 \(y'(0)=1\)。计算 \(y'(x) = C_2 e^{-x} - C_2 x e^{-x}\)，代入 \(x=0\) 得 \(y'(0) = C_2 = 1\)。因此，特解为 \(y(x) = x e^{-x}\)。

最后，计算积分 \(\int_{0}^{+\infty} y(x) d x = \int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx\)。这是一个Gamma函数形式，\(\int_{0}^{+\infty} x e^{-x} dx = \Gamma(2) = 1! = 1\)。或者使用分部积分法亦可得到结果1。

学生的答案“1”与标准答案完全一致，且解答过程（虽未展示）隐含地指向了正确结果。根据打分要求，答案正确即给满分。因此，本题得分为4分。

题目总分：4分