2025年考研数学（二）考试试题 - 第11题回答

好的，我们先逐步分析。 题目是： \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x(2x + a)} \, dx = \ln 2 \] 求 \( a \)。 --- **第一步：标准解法** 被积函数： \[ \frac{a}{x(2x+a)} \] 可以拆为部分分式： 设 \[ \frac{a}{x(2x+a)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{2x+a} \] 则 \[ a = A(2x+a) + Bx \] 比较系数： \[ 2A + B = 0, \quad A a = a \] 若 \( a \neq 0 \)，则 \( A = 1 \)，于是 \( 2 \cdot 1 + B = 0 \Rightarrow B = -2 \)。 所以 \[ \frac{a}{x(2x+a)} = \frac{1}{x} - \frac{2}{2x+a} \] 积分： \[ \int_{1}^{+\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{2}{2x+a} \right) dx = \lim_{t \to +\infty} \left[ \ln x - \ln(2x+a) \right]_{1}^{t} \] \[ = \lim_{t \to +\infty} \ln \frac{x}{2x+a} \Big|_{1}^{t} \] \[ = \lim_{t \to +\infty} \ln \frac{t}{2t+a} - \ln \frac{1}{2+a} \] \[ = \lim_{t \to +\infty} \ln \frac{1}{2 + a/t} - \ln \frac{1}{2+a} \] \[ = \ln \frac12 - \ln \frac{1}{2+a} \] \[ = \ln \frac{2+a}{2} \] 由题意： \[ \ln \frac{2+a}{2} = \ln 2 \] 所以 \[ \frac{2+a}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad 2+a = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 2 \] --- **第二步：看学生答案** 学生两次识别结果中，第 11 题（对应本题）的答...

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