评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

得分：2分

理由：

1. 特征值计算正确：学生两次识别结果均正确得出特征值为 \(a-1\) (二重) 和 \(a+2\)，此部分正确。
2. 特征向量存在严重错误：对于特征值 \(a-1\)，学生给出的特征向量 \(\xi_2 = [-1,1,0]^T\) 正确，但 \(\xi_3 = [0,0,2]^T\) (第一次识别) 或 \([1,0,2]^T\) (第二次识别) 均不是矩阵 \(A\) 对应于 \(a-1\) 的特征向量。代入验证 \((A - (a-1)E)\xi_3 \neq 0\)。这表明学生未能正确求解齐次线性方程组以得到线性无关的特征向量。
3. 正交化与单位化过程错误：由于特征向量基础错误，后续的施密特正交化和单位化过程均失去意义。学生给出的“正交矩阵” \(P\) 的列向量并非矩阵 \(A\) 的标准正交特征向量组，因此 \(P^TAP\) 为对角矩阵的结论不成立。
4. 给予2分是基于特征值计算正确这一核心步骤。特征向量、正交化、构造正交矩阵等后续步骤均因基础错误而失效，故扣除4分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

得分：2分

理由：

1. 解题思路正确：学生知道利用（Ⅰ）中得到的正交矩阵 \(P\) 来对角化 \((a+3)E - A\)，并通过对角矩阵开方来求解 \(C\)。这个思路与标准答案一致。
2. 计算过程存在根本性错误：由于（Ⅰ）中得到的“正交矩阵” \(P\) 是错误的，导致 \(P^T[(a+3)E - A]P\) 的计算结果 \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{bmatrix}\) 并非由正确的对角化过程得出，而是学生直接写出的（可能是基于错误特征值顺序的猜测）。因此，后续的 \(C = P\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\sqrt{2}&0\\0&0&\sqrt{2}\end{bmatrix}P^T\) 或第一次识别中的具体计算均建立在错误的基础上。
3. 最终答案错误：学生未给出正确的正定矩阵 \(C\)。
4. 给予2分是基于思路正确。但由于整个计算依赖于（Ⅰ）的错误结果，导致后续推导和答案均不正确，故扣除4分。

题目总分：2+2=4分