评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生答案中给出了X的概率密度函数 \( f_X(x) = \begin{cases} 1, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \)，与标准答案完全一致。理由：在区间(0,2)上随机取一点，较短一段长度X的取值范围是(0,1]，但由对称性（或直接推导）可知X在(0,1)上服从均匀分布，密度为1。学生正确写出，得满分4分。

（2）得分及理由（满分4分）

学生正确写出 \( Y = 2 - X \)，\( Z = \frac{2-X}{X} \)，并利用分布函数法求Z的密度。推导过程中，当 \( z \ge 1 \) 时，正确得到 \( F_Z(z) = P\left\{ X \ge \frac{2}{z+1} \right\} = 1 - \frac{2}{z+1} = \frac{z-1}{z+1} \)，并求导得到密度 \( f_Z(z) = \frac{2}{(z+1)^2}, z > 1 \)，其他情况为0。与标准答案一致。但在第一次识别结果中有一处多余的错误表达式“\( F_Z(z)=\int_{0}^{\frac{2}{z + 1}}\frac{2}{x}-1dx \)”，这可能是识别错误或笔误，但后续正确的推导已覆盖，且第二次识别结果完全正确。根据“误写不扣分”原则，不扣分。得满分4分。

（3）得分及理由（满分4分）

学生正确写出 \( E\left( \frac{X}{Y} \right) = E\left( \frac{X}{2-X} \right) = \int_0^1 \frac{x}{2-x} \, dx \)，并给出结果 \( 2\ln 2 - 1 \)，与标准答案一致。得满分4分。

题目总分：4+4+4=12分