评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“3”，与标准答案“3”一致。

本题为填空题，要求判断无穷小的阶数 \(k\)。根据题意，需要考察当 \(x \to 0\) 时，积分 \(\int_{0}^{x} \frac{(1+t^{2}) \sin t^{2}}{1+\cos ^{2} t} dt\) 的阶数。被积函数在 \(t=0\) 处的极限为 \(\frac{(1+0)\cdot 0}{1+1} = 0\)，但更关键的是其渐近行为。当 \(t \to 0\) 时，\(\sin t^2 \sim t^2\)，\(\cos^2 t \sim 1\)，因此被积函数 \(\sim \frac{(1+t^2) \cdot t^2}{1+1} \sim \frac{t^2}{2}\)。所以，积分 \(\int_{0}^{x} \frac{t^2}{2} dt = \frac{x^3}{6}\)，为 \(x^3\) 阶无穷小，故 \(k=3\)。学生答案正确，得满分5分。

题目总分：5分