评分及理由

本题满分12分，学生作答的整体思路正确：先分析曲线性质，再写出面积表达式并积分，然后通过求导寻找最大值点并计算最大值。但在关键步骤（求导后解方程）出现逻辑错误，导致最终答案错误。

（1）得分及理由（满分12分）

得分：8分

理由：

• 正确步骤（不扣分）：
  • 对曲线 \(y = x e^{-2x}\) 求导分析单调性（1分）。
  • 正确写出面积表达式 \(S(t) = \int_{t}^{2t} x e^{-2x} dx\)（1分）。
  • 正确使用分部积分法计算定积分，得到 \(S(t) = \frac{1}{2}\left[ \left(\frac{1}{2}+t\right)e^{-2t} - \left(\frac{1}{2}+2t\right)e^{-4t} \right]\)（3分）。
  • 认识到需要求 \(S(t)\) 的最大值，并对表达式求导（或对相关函数求导）（1分）。
• 逻辑错误（扣分）：
  • 在求导后解方程 \(h'(t)=0\) 时，学生计算出现混乱。第一次识别中直接得出 \(t = -\frac{3}{2}\ln2\)（明显错误，t>0），第二次识别中先得出 \(t=\ln 2\)，后又改为 \(t=\frac{3}{2}\ln 2\)，但推导过程有误。正确的导数应为 \(S'(t) = 4t e^{-4t} - t e^{-2t}\) 或等价形式，令其为零解得 \(t = \ln 2\)。学生未能得到正确驻点，属于核心计算错误（扣3分）。
  • 由于驻点计算错误，导致后续单调性判断和最大值计算结果均错误（扣1分）。
• 最终答案错误，但主要思路框架正确，因此扣除错误部分分数后，给予8分。

题目总分：8分