评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确将增广矩阵 (A, α) 化为行最简形，并得到了正确的通解形式：x = (-k+1, -2k+1, -k, k)^T。这与标准答案的表示等价（标准答案为 (1-k, 1-2k, 1-k, k)^T，两者仅相差一个符号，本质相同）。学生指出通解为 kη₁ + η*，其中 η₁ = (-1, -2, -1, 1)^T，η* = (1, 1, 0, 0)^T。这里 η* 的第三分量应为 1 而非 0，这是一个计算错误。但学生随后声称将通解代入 Bx 得到 β，并未给出具体验证过程，逻辑上不完整。然而，考虑到题目的核心要求是“证明 Ax=α 的解均为 Bx=β 的解”，标准答案的思路是通过验证 Bη₁=0 和 Bη*=β 来完成。学生虽然没有展示验证步骤，但其通解形式正确，且结论陈述正确。根据“思路正确不扣分”的原则，以及识别中可能存在误写（如 η* 的第三分量），且核心逻辑（利用通解结构）正确，此处不进行严厉扣分。但证明过程不严谨，缺少关键验证步骤，应适当扣分。扣2分，得4分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生试图通过分析 (B, β) 的秩来求解。其变换过程中出现了多处错误：
1. 第二次识别中，矩阵 B 的第二行第四列元素写为 “a+1”，而原题为 “a-1”，这可能是识别错误，根据“误写不扣分”原则，不因此扣分。
2. 对 (B, β) 进行行变换后得到矩阵的第三行显示为 (0, 0, 1-a, 1-a, 1)。此结果与标准答案不同，标准答案变换后第三行为 (0, 0, 3(a-1), 3(a-1), *)，学生的计算过程存在逻辑错误。
3. 基于错误的行变换结果，学生得出了当 a≠1 时，增广矩阵的简化形式以及对应的通解。这部分计算因基于错误前提，属于逻辑错误。
4. 学生正确指出当 a=1 时，r(B) < r(¯B)（即系数矩阵秩小于增广矩阵秩），方程组无解。这与标准答案中“a=1时 r(B)=2”的结论在判断“不同解”的思路上是一致的（标准答案通过 r(B)<3 判断，学生通过无解判断，都意味着此时两个方程组解集不同）。这是本小题的核心正确点。
由于学生的主要计算过程存在逻辑错误，但最终对关键值 a=1 的判断正确，且判断理由（秩不等导致无解）合理。根据“主要判断核心逻辑是否正确”的原则，给予部分分数。扣3分，得3分。

题目总分：4+3=7分