评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生答案中，第1次识别结果写的是 \(E(T_c) = cEX\)，第2次识别结果写的是 \(E(T_c) = E(cX_{(1)}) = cEX_{(1)} = cEX\)。这里存在两个关键错误：

1. 将 \(X_{(n)}\)（样本最大值）的期望错误地等同于总体 \(X\) 的期望 \(EX = \theta/2\)。实际上，\(X_{(n)}\) 的期望是 \(\frac{n}{n+1}\theta\)，而不是 \(\theta/2\)。
2. 第2次识别中误将 \(X_{(n)}\) 写为 \(X_{(1)}\)（最小值），但后续计算仍使用了 \(EX = \theta/2\)，说明核心错误在于用总体均值代替了顺序统计量的均值。

因此，整个解题思路和计算都是错误的。根据标准答案，正确思路是求出 \(X_{(n)}\) 的分布，计算其期望，再令 \(cE(X_{(n)}) = \theta\) 求解 \(c\)。学生答案完全没有涉及 \(X_{(n)}\) 的分布，属于基本概念和方法的错误。

扣分：本题(1)问满分6分，由于核心逻辑完全错误，得0分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生答案中，错误地认为 \(X_{(n)} \sim U(0, \theta)\) 且 \(T_c \sim U(0, c\theta)\)。这是严重错误。均匀分布总体的最大值 \(X_{(n)}\) 并不服从均匀分布，其概率密度为 \(f(x) = \frac{n x^{n-1}}{\theta^n}, 0 \le x \le \theta\)。基于这个错误分布假设，后续推导的 \(T_c - \theta\) 的分布、期望、方差全部错误，导致最终的目标函数 \(h(c)\) 错误，进而求出的极小值点 \(c=0\) 也毫无意义。

正确思路应基于 \(X_{(n)}\) 的真实分布，计算 \(E(X_{(n)})\) 和 \(E(X_{(n)}^2)\)，进而得到 \(h(c) = E[(cX_{(n)} - \theta)^2]\) 关于 \(c\) 的二次函数并求最小值。

扣分：本题(2)问满分6分，由于核心分布假设错误导致整个解答错误，得0分。

题目总分：0+0=0分