评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为 \(x + 2y - z = 0\)，与标准答案完全一致。

曲面方程为 \(z = x + 2y + \ln(1 + x^2 + y^2)\)。记 \(F(x, y, z) = z - x - 2y - \ln(1 + x^2 + y^2) = 0\)。在点 \((0,0,0)\) 处，计算偏导数：

• \(F_x = -1 - \frac{2x}{1+x^2+y^2}\)，在 \((0,0,0)\) 处值为 \(-1\)。
• \(F_y = -2 - \frac{2y}{1+x^2+y^2}\)，在 \((0,0,0)\) 处值为 \(-2\)。
• \(F_z = 1\)，在 \((0,0,0)\) 处值为 \(1\)。

因此，法向量为 \(\vec{n} = (F_x, F_y, F_z) = (-1, -2, 1)\)，切平面方程为：

\(-1 \cdot (x-0) - 2 \cdot (y-0) + 1 \cdot (z-0) = 0\)，即 \(x + 2y - z = 0\)。

学生答案正确，思路与标准解法一致，且无逻辑错误。根据评分规则，本题得满分5分。

题目总分：5分