评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答为“0”。

题目要求将周期为2的函数 \(f(x)\) 展开为余弦级数 \(f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}\cos n\pi x\)，并求 \(\sum_{n = 1}^{\infty}a_{2n}\) 的值。

根据傅里叶系数公式，\(a_n = 2\int_0^1 f(x)\cos(n\pi x)dx\)。由于 \(f(x)=1-x\) 在 \([0,1]\) 上，且周期为2，该展开是偶延拓后的傅里叶余弦级数。

计算 \(a_{2n} = 2\int_0^1 (1-x)\cos(2n\pi x)dx\)。通过分部积分可得结果为 \(\frac{1}{(n\pi)^2}(1-\cos(2n\pi)) = 0\)。因此，对所有偶数 \(n\)，系数 \(a_{2n}=0\)，故其无穷和 \(\sum_{n=1}^{\infty}a_{2n}=0\)。

学生答案“0”与标准答案完全一致。

因此，本题得分为5分。

题目总分：5分