评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为“2”。

题目条件为：\(\gamma = k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}+k_{3}\alpha_{3}\)，且满足 \(\gamma^{T}\alpha_{i}=\beta^{T}\alpha_{i}(i = 1,2,3)\)。这等价于 \(\gamma - \beta\) 与向量组 \(\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\}\) 中的每个向量都正交。将 \(\gamma\) 的表达式代入，得到关于 \(k_1, k_2, k_3\) 的线性方程组 \(A^TA \mathbf{k} = A^T \beta\)，其中 \(A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)\)。通过计算可得 \(k_1 = \frac{2}{3}, k_2 = -\frac{1}{3}, k_3 = -\frac{2}{3}\)，进而 \(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2} = \frac{4}{9} + \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{9}{9} = 1\)。或者，利用正交条件，可以推导出 \(\|\mathbf{k}\|^2 = \frac{\|P\beta\|^2}{\|\alpha\|^2}\) 等形式，但最终正确结果应为 \(\frac{11}{9}\)。学生答案“2”与标准答案 \(\frac{11}{9}\) 不符。

根据题目要求，本题为填空题，正确则给5分，错误则给0分，禁止给步骤分。因此，该答案得分为0分。

题目总分：0分