评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答中，对微分方程的建立是正确的（由题意得到 \(x = y - xy'\)），但在后续求解过程中出现了逻辑错误。学生将方程整理为 \((y-x)dx - xdy = 0\) 后，试图使用积分因子法求解，但此处方程实为一阶线性微分方程 \(y' - \frac{1}{x}y = -1\)，可直接套用公式或使用积分因子 \(e^{-\int \frac{1}{x}dx} = \frac{1}{x}\) 求解。学生选择的积分因子路径虽然可行，但在求原函数 \(u(x,y)\) 时，从 \(u(x,y) = -x^{-1}y - \ln x = C\) 到最终解的表达出现了代数错误：由 \(-x^{-1}y - \ln x = C\) 应得 \(y = -Cx - x\ln x\)，代入初始条件可得 \(C = -2\)，从而 \(y = x(2 - \ln x)\)。但学生错误地写成了 \(y = -x^{-1}y - \ln x + C\)（这本身是通解的另一种错误表达），并进一步推导出 \(y(x) = \frac{x(4-\ln x)}{x+1}\)，这与正确解不符。因此，虽然建立方程和初始条件使用正确，但求解过程存在根本性错误，导致结果错误。扣分：建立方程和初始条件部分给2分，求解过程错误扣3分。得分为2分。

（2）得分及理由（满分5分）

第（2）问需要求 \(f(x) = \int_1^x y(t)dt\) 的最大值。由于学生在第（1）问中得到的 \(y(x)\) 是错误的，因此基于错误函数进行的积分和求导必然错误。即使后续求导、找驻点等步骤在形式上正确，但因其依赖于错误的前提，整个解答无效。故本小题得0分。

题目总分：2+0=2分