评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第1次识别结果给出了配方法：\(f(x_1,x_2,x_3)=(x_1+x_2-x_3)^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2x_2x_3\)，并令 \(y_1 = x_1+x_2-x_3, y_2 = x_2, y_3 = x_3\)，得到变换矩阵 \(P=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\)。但这里存在逻辑错误：题目要求将 \(f\) 化成 \(g\)，而学生给出的变换后形式并不是 \(g(y_1,y_2,y_3)=y_1^2+y_2^2+y_3^2+2y_2y_3\)。实际上，若代入 \(y_2=x_2, y_3=x_3\)，则 \(f = y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + 2y_2y_3\)，这恰好是 \(g\)，所以变换是成立的。然而，学生没有验证变换的可逆性（矩阵 \(P\) 确实可逆），且没有像标准答案那样通过规范形建立联系，但思路正确且结果正确。根据“思路正确不扣分”原则，此处不扣分。但第2次识别结果中，学生重复了相同内容，没有进一步完成从 \(x=Py\) 到 \(f=g\) 的验证，整体表述不够完整，但核心变换正确。因此，扣1分，得5分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生试图通过施密特正交化构造正交矩阵 \(Q\)，但存在严重逻辑错误。题目问的是是否存在正交变换 \(x=Qy\) 将 \(f\) 化成 \(g\)，这等价于问是否存在正交矩阵 \(Q\) 使得 \(Q^TAQ=B\)，其中 \(A,B\) 分别为 \(f,g\) 的矩阵。学生没有考虑 \(A,B\) 的特征值或迹等相似不变量，而是直接对一组向量进行正交化，这组向量与 \(A,B\) 无关，因此整个方法错误。此外，即使正交化得到 \(Q\)，也没有说明 \(Q\) 如何使 \(f\) 化为 \(g\)。因此，该部分答案完全偏离正确思路，扣6分，得0分。

题目总分：5+0=5分