评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生正确写出了旋转体体积公式 \( V(t) = \pi \int_{t}^{2t} x e^{-2x} \, dx \)，并尝试用分部积分法计算该积分。但在积分过程中出现了多处错误：

1. 第一次识别结果中，分部积分后符号处理混乱，且出现了 \( nte^{-t} \) 这样的项（应为 \( te^{-2t} \)），最后结果错误。
2. 第二次识别结果中，虽然分部积分思路正确，但在代入上下限和化简时出现错误：例如在 \( -\frac{1}{2}\pi(2te^{-4t}-te^{-2t})+\frac{1}{2}\pi\left(-\frac{1}{2}e^{-2x}|_{t}^{2t}\right) \) 这一步之后，错误地将 \( e^{-2x}|_{t}^{2t} \) 写成了 \( e^{-4x}|_{t}^{2t} \)，并在最后一项中出现了 \( e^{-8t} \) 和 \( e^{-4t} \)，这与正确结果不符。
3. 学生没有完成题目要求的“求 \( V(t) \) 的最大值”，只计算了积分表达式（且计算错误），没有进行求导、分析单调性、求最大值等步骤。

因此，本题主要考察两个部分：正确表示体积并积分，以及通过求导求最值。学生只完成了部分积分尝试且结果错误，后续关键步骤缺失。根据评分标准，逻辑错误扣分，且未完成题目要求的大部分内容。

给予部分分数：2分（满分12分）。

题目总分：2分