评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

得分：2分。

理由：

• 学生作答中，对于条件“方程组Ax=0的解是B^Tx=0的解，但两个方程组不同解”的理解和转化存在根本性逻辑错误。标准答案中，此条件等价于两个方程组同解，从而得到关于矩阵秩的条件。学生错误地使用了“r(A)=r(AB)”等不相关的秩关系，其推导过程与题意不符，属于核心思路错误。
• 尽管学生最终得到了b=2，但a=0是错误的（正确答案是a=1）。其计算过程是基于错误的前提进行的，因此不能视为部分正确。
• 由于存在严重的逻辑错误，且未能得出正确的a值，故扣分严重。考虑到其最终得到了b=2，给予少量分数。

（2）得分及理由（满分6分）

得分：3分。

理由：

• 学生在第(2)问中，基于自己第(1)问得出的错误结果a=0, b=2，计算出了矩阵BA，并正确地判断出该矩阵的秩为1，进而通过特征多项式求出了特征值λ=4, 0, 0。此部分计算思路和方法正确。
• 学生求出了对应于特征值4和0的特征向量，并构造了变换矩阵Q。
• 主要扣分点：
  1. 标准形系数错误：学生得到的标准形为4y₁²，而正确答案应为6y₃²。这是因为学生基于错误的BA矩阵（其迹为1+1+2=4）进行计算，而正确的BA矩阵迹为6。
  2. 正交性缺失：学生构造的矩阵Q中的特征向量α₁, α₂, α₃并未进行正交化和单位化，因此Q不是正交矩阵，这与题目要求的“求正交矩阵x=Qy”不符。这是一个重要的步骤缺失。
• 鉴于学生完成了二次型标准形求解的主要步骤（求特征值、特征向量、写出变换），但结果矩阵有误且未满足正交条件，故给予一半分数。

题目总分：2+3=5分