评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生答案为“3”，标准答案为“1”。

题目要求计算函数 \( u(x,y,z)=xy^{2}z^{3} \) 在点 (1,1,1) 处沿方向向量 \(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\) 的方向导数 \(\left. \frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}\right\vert _{(1,1,1)}\)。

计算方向导数的正确步骤应为：

1. 计算函数 \( u \) 的梯度：\(\nabla u = (y^2z^3, 2xyz^3, 3xy^2z^2)\)。
2. 在点 (1,1,1) 处，梯度值为 \(\nabla u|_{(1,1,1)} = (1, 2, 3)\)。
3. 方向向量 \(\boldsymbol{n}=(2,2,-1)\) 不是单位向量，需要先单位化：\(\boldsymbol{n}^0 = \frac{(2,2,-1)}{\sqrt{2^2+2^2+(-1)^2}} = \frac{(2,2,-1)}{3}\)。
4. 方向导数为梯度与单位方向向量的点积：\(\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol{n}}|_{(1,1,1)} = (1, 2, 3) \cdot \frac{(2,2,-1)}{3} = \frac{1\times2 + 2\times2 + 3\times(-1)}{3} = \frac{2+4-3}{3} = \frac{3}{3} = 1\)。

学生答案“3”可能是错误地将梯度 \((1,2,3)\) 与未单位化的方向向量 \((2,2,-1)\) 直接点积得到 \(2+4-3=3\)，忽略了单位化步骤，这是一个典型的逻辑错误（方向导数定义应用错误）。

根据标准答案和打分规则（正确给5分，错误给0分，禁止给步骤分），该答案错误，因此得0分。

题目总分：0分