评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答分为两次识别结果。第一次识别结果中，从求偏导、代入方程化简得到微分方程 \(u^2 f''(u) + u f'(u) = 1\) 的步骤完全正确，但在求解微分方程时出现严重错误：将方程误当作关于 \(f(u)\) 的一阶线性方程，并错误地使用了积分因子法直接对 \(f(u)\) 求解，导致得到错误解 \(f(u)=-\frac{1}{2}u^2\ln u+\frac{1}{4}u^2+\frac{3}{4}\)。尽管后面代入初始条件 \(f(1)=1, f'(1)=2\) 试图确定常数，但方程本身解错，因此整体逻辑错误。若仅按第一次识别结果评分，应扣除大部分分数。

第二次识别结果中，前两步（求偏导、化简得微分方程）同样正确。在求解微分方程时，正确地将方程化为 \(f''(u)+\frac{1}{u}f'(u)=\frac{1}{u^2}\)，并正确地令 \(p=f'(u)\) 转化为一阶线性方程，使用积分因子法求出 \(f'(u)=\frac{1}{u}(\ln u + C_1)\)，再积分得到 \(f(u)=\frac{1}{2}(\ln u)^2 + C_1 \ln u + C_2\)，最后利用初始条件 \(f(1)=1, f'(1)=2\) 确定常数 \(C_1=2, C_2=1\)，从而得到正确结果 \(f(u)=\frac{1}{2}\ln^2 u + 2\ln u + 1\)。然而，在最后一段突然又写回了第一次识别中的错误表达式，这可能是识别拼接错误或笔误。但根据题目要求“对学生作答进行了两次识别，只要其中有一次回答正确则不扣分”，且第二次识别的主体部分（步骤1-3及常数确定推理）完全正确并得到了标准答案，因此应视为正确。

综合两次识别，核心逻辑和最终答案在第二次识别中正确呈现。根据“只要其中有一次回答正确则不扣分”的原则，本题给予满分。

题目总分：12分