评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“1”。标准答案为“e”。

本题需要计算导数 \(\frac{dy}{dx}\big|_{t=0}\) 的值。解题思路通常为：由参数方程 \(x = \ln(1+2t)\) 和隐函数方程 \(2t - \int_{1}^{y + t^2} e^{-u^2} du = 0\) 联立确定 \(y\) 与 \(x\) 的关系。计算 \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)，并在 \(t=0\) 处求值。

具体计算过程简述：
1. 由 \(x = \ln(1+2t)\)，得 \(\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+2t}\)，故 \(\frac{dx}{dt}\big|_{t=0} = 2\)。
2. 对隐函数方程 \(2t - \int_{1}^{y + t^2} e^{-u^2} du = 0\) 两边对 \(t\) 求导，利用变上限积分求导法则，得：
\(2 - e^{-(y+t^2)^2} \cdot (\frac{dy}{dt} + 2t) = 0\)。
3. 当 \(t=0\) 时，代入原隐函数方程：\(0 - \int_{1}^{y(0)} e^{-u^2} du = 0\)，可得 \(\int_{1}^{y(0)} e^{-u^2} du = 0\)，因此 \(y(0)=1\)。
4. 将 \(t=0, y=1\) 代入求导后的方程：\(2 - e^{-(1)^2} \cdot (\frac{dy}{dt}\big|_{t=0} + 0) = 0\)，解得 \(\frac{dy}{dt}\big|_{t=0} = 2e\)。
5. 因此，\(\frac{dy}{dx}\big|_{t=0} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\big|_{t=0} = \frac{2e}{2} = e\)。

学生答案“1”与正确结果“e”不符，属于计算错误或理解错误。根据评分规则，本题为填空题，答案错误则得0分。

得分为：0分。

题目总分：0分