评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答的整体思路正确：首先利用积分区域关于直线 \(y = x\) 的对称性，将被积函数 \((x-y)^2\) 转化为 \(x^2+y^2\) 在区域 \(D\) 上的积分，这一步是合理的，因为对称性保证了 \(\iint_D xy \, dxdy = 0\)（实际上在对称区域上 \(x\) 和 \(y\) 互换，积分值不变，但这里直接得到 \(\iint_D (x-y)^2 dxdy = \iint_D (x^2+y^2) dxdy\) 需要说明，不过学生的第一步写法 \(\frac{1}{2}\iint_D [(x-y)^2+(y-x)^2] dxdy\) 本质就是 \(\iint_D (x^2+y^2) dxdy\)，因为 \((x-y)^2+(y-x)^2 = 2(x^2+y^2) - 4xy\)，但结合对称性 \(\iint_D xy \, dxdy = 0\)，所以结果正确）。

随后学生将积分化为极坐标，并正确将区域分为两部分（对应两个圆的极坐标方程 \(r=4\sin\theta\) 和 \(r=4\cos\theta\)），积分限设置正确：对于 \(0 \le \theta \le \pi/4\)，边界由 \(r=4\sin\theta\) 给出；对于 \(\pi/4 \le \theta \le \pi/2\)，边界由 \(r=4\cos\theta\) 给出。计算过程基本正确，最终得到 \(12\pi - 32\)。

然而，标准答案是 \(12\pi - \frac{16}{3}\)，学生的计算结果 \(12\pi - 32\) 与之不符。检查学生的计算步骤：在极坐标下积分 \(\iint_D r^2 \cdot r \, dr d\theta = \int r^3 dr d\theta\)，学生写出的两个积分 \(\int_0^{\pi/4} d\theta \int_0^{4\sin\theta} r^3 dr + \int_{\pi/4}^{\pi/2} d\theta \int_0^{4\cos\theta} r^3 dr\) 正确。计算内积分：\(\int_0^{4\sin\theta} r^3 dr = \frac{1}{4}(4\sin\theta)^4 = 64\sin^4...