评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \(a = 4\)。

首先，计算给定的积分：
\[ \int_{1}^{+\infty} \frac{a}{x(2x+a)} dx \] 被积函数可以分解为部分分式： \[ \frac{a}{x(2x+a)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{2x+a} \] 通过比较系数可得 \(A=1, B=-1\)，即： \[ \frac{a}{x(2x+a)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+\frac{a}{2}} \] 因此，积分变为： \[ \int_{1}^{+\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+\frac{a}{2}} \right) dx = \left[ \ln|x| - \ln\left|x+\frac{a}{2}\right| \right]_{1}^{+\infty} = \left[ \ln\frac{x}{x+\frac{a}{2}} \right]_{1}^{+\infty} \] 计算极限： \[ \lim_{x \to +\infty} \ln\frac{x}{x+\frac{a}{2}} = \ln 1 = 0 \] 所以积分值为： \[ 0 - \ln\frac{1}{1+\frac{a}{2}} = \ln\left(1+\frac{a}{2}\right) \] 根据题意，该积分等于 \(\ln 2\)，因此： \[ \ln\left(1+\frac{a}{2}\right) = \ln 2 \quad \Rightarrow \quad 1+\frac{a}{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{2} = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 2 \] 标准答案为 \(a=2\)。学生作答 \(a=4\) 与正确结果不符，因此本题得分为 0 分。

题目总分：0分