评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“15/23”。

首先，我们需要计算在事件 A, B, C 至少有一个发生的条件下，A, B, C 中恰有一个发生的概率。这是一个条件概率问题，所求概率为： \[ P(\text{恰有一个发生} \mid \text{至少有一个发生}) = \frac{P(\text{恰有一个发生})}{P(\text{至少有一个发生})} \]

根据已知条件：A与C互不相容（即 \(P(AC)=0\)），A与B相互独立，B与C相互独立。且 \(P(A)=P(C)=\frac{1}{4}\)，\(P(B)=\frac{1}{2}\)。

计算“恰有一个发生”的概率： \[ P(\text{恰有一个发生}) = P(A\overline{B}\overline{C}) + P(\overline{A}B\overline{C}) + P(\overline{A}\overline{B}C) \] 由于A与C互不相容，所以 \(A\overline{B}\overline{C} = A\overline{B}\)（因为C不发生是必然的，否则A和C同时发生矛盾），同理 \(\overline{A}\overline{B}C = \overline{B}C\)。但更严谨地，我们分别计算： \[ P(A\overline{B}\overline{C}) = P(A\overline{B}) - P(A\overline{B}C) \] 由于A与C互不相容，\(P(AC)=0\)，所以 \(P(A\overline{B}C)=0\)，故 \(P(A\overline{B}\overline{C}) = P(A\overline{B}) = P(A)P(\overline{B}) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}\)。 同理，\(P(\overline{A}\overline{B}C) = P(\overline{B}C) = P(\overline{B})P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}\)。 对于 \(P(\overline{A}B\overline...