评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第一次识别结果的行变换过程有误（第一步变换后第一行第二列元素符号错误，且后续变换不一致），但第二次识别结果的行变换过程基本正确：从原始矩阵先进行行变换得到中间矩阵，再进一步化为行阶梯形 \(\begin{bmatrix}1 & -1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & a & 2 \\ 0 & 0 & a-1 & 2(1-a) & 0\end{bmatrix}\)。根据秩为2，第三行应全为零，因此 \(a-1=0\) 且 \(2(1-a)=0\)，解得 \(a=1\)。虽然变换过程与标准答案不完全相同，但思路正确且结果正确。考虑到可能存在识别误差（如第一次识别中部分数字误写），但第二次识别已给出正确推导，因此不扣分。得6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中，在得到 \(a=1\) 后，对矩阵进行行变换得到 \(\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\)，这与标准答案一致。但学生给出的极大无关组为 \(\alpha=(1,0,0)^T\)，\(\beta=(0,1,0)^T\)，这是错误的。因为这两个向量并不是原矩阵 \(A\) 的列向量，而是行最简形对应的“单位坐标向量”，而题目要求的是 \(A\) 的列向量组的一个极大线性无关组，即应从原矩阵的列中选取。因此，学生未能正确写出极大无关组 \(\alpha_1, \alpha_2\)，也未给出矩阵 \(H\)。尽管行变换结果正确，但核心问题（找出原列向量的极大无关组并表达为 \(A=GH\)）未完成，应扣除大部分分数。得2分（仅给出行变换结果正确的部分分）。

题目总分：6+2=8分