评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“-1”。

题目要求当 \(x \to 0\) 时，函数 \(f(x)=a x+b x^{2}+\ln (1+x)\) 与 \(g(x)=e^{x^{2}}-\cos x\) 是等价无穷小。这意味着 \(\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1\)。

首先，将 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \(x=0\) 处进行泰勒展开：

• \(\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)\)
• \(e^{x^2} = 1 + x^2 + o(x^2)\)
• \(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\)

因此： \[ f(x) = a x + b x^2 + \left( x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) \right) = (a+1)x + \left(b - \frac{1}{2}\right)x^2 + o(x^2) \] \[ g(x) = (1 + x^2 + o(x^2)) - \left(1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) = \frac{3}{2}x^2 + o(x^2) \]

要使 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 为等价无穷小，它们必须是同阶无穷小，且极限为1。观察 \(g(x)\) 的展开式，其最低阶项为 \(x^2\) 项。因此，\(f(x)\) 的 \(x\) 项系数必须为零，以避免 \(f(x)\) 成为比 \(g(x)\) 更高阶的无穷小（或无穷大）。

令 \(x\) 项系数为零：\(a+1 = 0\)，解得 \(a = -1\)。

此时，\(f(x) = \left(b - \frac{1}{2}\right)x^2 + o(x^2)\)。

计算极限： \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\left(b - \frac{1}{2}\right)x^2 + o(x^2)}{\frac{3}{2}x^2 + o(x^2)} = \frac{b - \frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} \]

令该...