2023年考研数学（二）考试试题 - 第14题回答

好的，我们先一步步分析。 --- **1. 题目理解** 曲线方程： \[ 3x^3 = y^5 + 2y^3 \] 在 \(x=1\) 对应点处求法线斜率。 --- **2. 标准答案推导** 当 \(x=1\) 时： \[ 3 = y^5 + 2y^3 \] \[ y^5 + 2y^3 - 3 = 0 \] 试 \(y=1\)： \(1 + 2 - 3 = 0\)，成立。 所以对应点 \((1,1)\)。 隐函数求导： \[ 9x^2 = (5y^4 + 6y^2) \frac{dy}{dx} \] 在 \((1,1)\)： \[ 9 = (5 + 6) \cdot y'(1) \] \[ 9 = 11 \cdot y'(1) \] \[ y'(1) = \frac{9}{11} \] 法线斜率 \(k_n\) 与切线斜率 \(y'\) 满足： \[ k_n \cdot y' = -1 \] \[ k_n = -\frac{1}{y'(1)} = -\frac{11}{9} \] 所以标准答案是 \(-\frac{11}{9}\)。 --- **3. 学生答案分析** 学生两次识别结果： 1. \(\frac{31}{3}\cdot\sqrt[3]{\frac{3}{49}}\) 2. \(\frac{31}{3}:\sqrt[3]{\frac{3}{49}}\) 这两个结果数值上相同（第二个可能是识别错误把乘号识别成冒号，但数学上冒号常表示比或除，这里可视为相同表达式）。 计算该数值： \[ \frac{31}{3} \cdot \sqrt[3]{\frac{3}{49}} \] 近似计算： \(\sqrt[3]{\frac{3}{49}} \approx \sqrt[3]{0.061224} \approx 0.394\) 乘以 \(31/3 \approx 10.333\)，得约 \(4.07\)，与 \(-\frac{11}{9} \approx -1.222\) 相差很大，且符号相反。 显然学生答案不是 \(-\frac{11}{9}\)，也不是数值近似相等的其他形式，而是完全不同的结果。...

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