评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是“-3”。

首先，我们需要分析题目。已知行列式： \[ D_1 = \begin{vmatrix} a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \end{vmatrix} = 4 \] 要求计算行列式： \[ D_2 = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0 \end{vmatrix} \] 观察两个行列式，发现 \(D_2\) 的行是 \(D_1\) 的行经过轮换得到的：将 \(D_1\) 的第一行移到第三行，第二行移到第一行，第三行移到第二行，即进行一次“向上”的轮换（或等价地，两次行交换）。具体来说： \[ D_1: R_1=(a,0,1), R_2=(1,a,1), R_3=(1,2,a) \] \[ D_2: R_1'=(1,a,1), R_2'=(1,2,a), R_3'=(a,b,0) \] 比较 \(D_1\) 和 \(D_2\) 的前两行，\(D_2\) 的前两行正好是 \(D_1\) 的第二行和第三行。但 \(D_2\) 的第三行是 \((a, b, 0)\)，而 \(D_1\) 的第一行是 \((a, 0, 1)\)，两者不同。因此不能直接通过行置换得到关系。

我们需要利用已知条件求出 \(a\) 和 \(b\)。先计算 \(D_1\)： \[ \begin{aligned} D_1 &= a \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ 2 & a \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \\ &= a(a \cdot a - 1 \cdot 2) + 1(1 \cdot 2 - a \cdot 1) \\ &= a(a^2 - 2) + (2 - a) \\ &= a^3 - 2a + 2 - a \\ &= a^3 - 3a + 2 \end{aligned} \] 已知 \(D_1 = 4\)，所以： \[ a^3 - 3a + 2 = 4 \quad...