评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案为：ln2x＋二分之一倍的ln（5y²比x²-4y比x+3）=0。
这是一个隐函数形式的表达式，其中包含了变量x和y的对数关系。我们需要判断它是否与标准答案 \(3x^{2}-4xy + 5y^{2}=4\) 等价。

首先，对学生的答案进行化简。设 \(u = \frac{y}{x}\)，则学生的方程可写为： \[ \ln(2x) + \frac{1}{2} \ln\left(5u^2 - 4u + 3\right) = 0 \] 移项并合并对数： \[ \frac{1}{2} \ln\left(5u^2 - 4u + 3\right) = -\ln(2x) = \ln\left(\frac{1}{2x}\right) \] 两边乘以2： \[ \ln\left(5u^2 - 4u + 3\right) = \ln\left(\frac{1}{4x^2}\right) \] 去掉对数： \[ 5u^2 - 4u + 3 = \frac{1}{4x^2} \] 代回 \(u = y/x\)： \[ 5\left(\frac{y}{x}\right)^2 - 4\left(\frac{y}{x}\right) + 3 = \frac{1}{4x^2} \] 两边乘以 \(4x^2\)： \[ 20y^2 - 16xy + 12x^2 = 1 \] 整理得： \[ 12x^2 - 16xy + 20y^2 = 1 \] 两边乘以 \(1/4\) 可得 \(3x^2 - 4xy + 5y^2 = 1/4\)，这与标准答案 \(3x^2 - 4xy + 5y^2 = 4\) 在常数项上不一致。检查初始条件 \(y(1)=1\)：代入学生化简后的方程 \(3(1)^2 - 4(1)(1) + 5(1)^2 = 3 - 4 + 5 = 4\)，应等于4，但学生的常数是1/4，不满足初始条件。因此学生的答案不正确。

此外，学生答案中出现了“ln2x”这样的写法，可能意指 \(\ln(2x)\)，但表述不规范。更重要的是，最终表达式与标准答案不等价，且未满足初始条件，因此不能得分。

根据评分规则，本题为填空题，只有答案完全正确才给5分，否则...