评分及理由

（1）求函数 \( f(x,y) \) 的表达式（满分6分）

学生第一次识别结果中，对 \( \frac{\partial f}{\partial y} \) 的识别有误，写为 \( e^{-y}(x + y - 1) \)，但后续推导中实际使用的是 \( e^{-y}(x^2 - y - 1) \)（从 \( \varphi'(y) = (-y-1)e^{-y} \) 可反推），且最终得到正确表达式 \( f = (y+2-x^2)e^{-y} \)。第二次识别结果中，\( \frac{\partial f}{\partial y} \) 正确，推导过程完整，且利用 \( f(0,0)=2 \) 正确求出常数 \( C=0 \)，得到正确结果 \( z = (y+2-x^2)e^{-y} \)。根据“两次识别只要有一次正确则不扣分”的原则，此处不扣分。但第一次识别中部分步骤书写混乱（如 \( \int \frac{dt}{dx} dx = \int \frac{1}{1 - 2xe^{-y}} dt \) 无意义），但最终结果正确，且第二次识别过程清晰正确，因此不扣分。得6分。

（2）求 \( f(x,y) \) 的极值（满分6分）

学生正确求出驻点 \( (0, -1) \)。在第二次识别中，二阶偏导数计算正确：\( A = -2e^{-y} \), \( B = 2xe^{-y} \), \( C = (y - x^2)e^{-y} \)，在驻点处 \( A = -2e \), \( B = 0 \), \( C = -e \)，计算 \( AC - B^2 = 2e^2 > 0 \) 且 \( A < 0 \)，从而判定极大值，极大值为 \( f(0,-1) = e \)。第一次识别中二阶偏导数 \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \) 写为 \( (y + x^2)e^{-y} \) 有误，但后续计算 \( AC - B^2 \) 时实际代入的是 \( -2e \times (-e) \)（即 \( C = -e \)），与正确值一致，且最终结论正确。根据“两次识别只要有一次正确则不扣分”，此处不扣分。得6分。

题目总分：6+6=12分