评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中，第1次识别结果提到了“∵AB合同 ∴tr(AB)=tr(A) A,B对称⇒A,B相似 tr(A)=tr |A|=0 a=4”。这里存在多处逻辑错误和表述不清： 1. “tr(AB)=tr(A)” 没有依据，合同矩阵的迹不一定相等。 2. “A,B对称⇒A,B相似” 错误，对称矩阵合同不一定相似，相似要求特征值完全相同。 3. “tr(A)=tr” 表述不完整。 然而，学生正确地得到了 |A|=0 并计算出 a=4。在计算特征多项式时，行列式展开有误（符号错误），但最终得到了特征值 λ(λ-3)(λ-6)=0，并指出特征值为 3, 3, 6（这里写成了两个3，一个6，与标准答案的3,6,0不符，但可能是笔误，因为前面有λ=0的因子）。随后学生说“由上题知k=3”，但并未给出k的取值范围推理过程。第1问要求求a的值及k的取值范围，学生只给出了a=4和k=3（具体值），没有说明k>0的取值范围，且推理过程存在严重逻辑错误。因此，第1问只能给予部分分数。考虑到a值计算正确，但k的推理和范围缺失或错误，扣分较多。给分：2分（满分6分）。

（2）得分及理由（满分6分）

第2问要求若存在正交矩阵Q使得Q^T A Q = B，求k及Q。学生第1次识别中直接说“由上题知k=3”，然后分别对λ=3,6,0求解特征向量，但求解过程混乱，向量的赋值和结果不一致（例如λ=6时得出x2=2，但标准答案是[ -1,0,1]^T），且最后给出的矩阵是3x3的，但描述中出现了“为4阶对称矩阵”等矛盾语句。最终给出的Q矩阵数值与标准答案不符，且没有单位化过程的清晰展示。第2次识别结果与本题无关，似乎是另一道题的内容。因此，第2问的解答虽然尝试了求特征值和特征向量，但特征向量求解错误，最终Q矩阵错误，且k的确定没有基于相似推理（虽然结果k=3正确，但推理不严谨）。给分：1分（满分6分），仅因k=3结果正确。

题目总分：2+1=3分